Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xử lý từng yêu cầu một.

### a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

Hàm số \(f(x)\) đồng biến tại một khoảng nếu đạo hàm của hàm số \(f'(x)\) có dấu dương trong khoảng đó.

Đạo hàm của \(f(x)\) là:

\[
f'(x) = 3\alpha x^2 + 2bx + c
\]

Để hàm số đồng biến trên \((0;2)\), ta cần:

\[
f'(x) > 0 \quad \forall x \in (0, 2)
\]

Điều này phụ thuộc vào giá trị của các hệ số \(\alpha\), \(b\), và \(c\). Cụ thể, điều kiện này có thể đảm bảo nếu:

1. Đầu tiên, kiểm tra tại \(x=0\) và \(x=2\):
- Tại \(x=0\): \(f'(0) = c > 0\)
- Tại \(x=2\): \(f'(2) = 12\alpha + 4b + c > 0\)

Từ đó sẽ cần tìm giá trị cụ thể cho \(\alpha\), \(b\), và \(c\) sao cho các điều kiện này thỏa mãn.

### b) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\).

Hàm số đạt cực trị tại \(x=0\) khi:

\[
f'(0) = c = 0
\]

Vì vậy, từ điều kiện trên, ta kết luận rằng:

\[
c = 0
\]

### c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \([-1;1]\) bằng \(-4\).

Chúng ta biết rằng hàm số \(f(x)\) là một hàm bậc ba với điều kiện \(c = 0\). Từ đó, hàm số có dạng:

\[
f(x) = \alpha x^3 + bx^2 + d
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \([-1; 1]\), chúng ta tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và tại các điểm cực trị trong khoảng. Từ đó, HTL sẽ cho chúng ta biết:

\[
\min_{x \in [-1, 1]} f(x) = -4
\]

Điều này cần thiết có giá trị f(-1) hoặc f(1) là -4.

### d) Tổng \(a + b + c + d = 10\).

Với \(c = 0\), chúng ta chỉ cần tìm các giá trị \(a\), \(b\), và \(d\) để thỏa mãn mệnh đề này.

### Kết luận:

- Từ điều kiện bài toán, chúng ta có một hệ phương trình về \(a\), \(b\), \(d\) dựa vào các điều kiện:
- Xác định để hàm số đồng biến trên khoảng \((0, 2)\),
- Cực trị tại \(x=0\),
- Giá trị nhỏ nhất trên khoảng \([-1, 1]\) và tổng các hệ số.

Tiến hành giải hệ phương trình này sẽ cho chúng ta giá trị cụ thể cho các hệ số trong hàm.