Giải phương trình x^2-x+2√(x^3+1) =2√(x+1)

Để giải phương trình

\[
x^2 - x + 2\sqrt{x^3 + 1} = 2\sqrt{x + 1},
\]

ta sẽ bắt đầu bằng cách biến đổi để tìm giá trị của \(x\).

Đầu tiên, chúng ta có phương trình:

\[
x^2 - x = 2\sqrt{x + 1} - 2\sqrt{x^3 + 1}.
\]

Chia hai bên cho 2 để có:

\[
\frac{x^2 - x}{2} = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x^3 + 1}.
\]

Sau đó, bình phương hai bên để loại bỏ dấu căn:

\[
\left( \frac{x^2 - x}{2} \right)^2 = \left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x^3 + 1} \right)^2.
\]

Tính toán hai bên:

1. Bên trái:

\[
\left( \frac{x^2 - x}{2} \right)^2 = \frac{(x^2 - x)^2}{4} = \frac{x^4 - 2x^3 + x^2}{4}.
\]

2. Bên phải:

\[
\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x^3 + 1} \right)^2 = (x + 1) + (x^3 + 1) - 2\sqrt{(x + 1)(x^3 + 1)}.
\]

Giờ đây phương trình trở thành:

\[
\frac{x^4 - 2x^3 + x^2}{4} = (x + 1 + x^3 + 1) - 2\sqrt{(x + 1)(x^3 + 1)}.
\]

Tiếp tục phát triển phương trình và đưa tất cả về một phía. Tuy nhiên thì phương trình này khá phức tạp. Thay vào đó, ta có thể thử một số giá trị cụ thể cho \(x\).

Giả sử \(x = 1\):
\[
x^2 - x = 1 - 1 + 2\sqrt{1^3 + 1} = 2\sqrt{2} \text{ và } 2\sqrt{1 + 1} = 2\sqrt{2}.
\]

Giá trị này có vẻ thoả mãn.

Giả sử \(x = 2\):
\[
x^2 - x + 2\sqrt{x^3 + 1} = 2 + 2\sqrt{9} = 2 + 6 = 8 \text{ và } 2\sqrt{x + 1} = 2\sqrt{3}.
\]

Giá trị này không thoả mãn.

Tiếp tục thử với các giá trị khác hoặc sử dụng phương pháp đồ thị hoặc máy tính để tìm nghiệm chính xác.

Tóm lại, nghiệm của phương trình có thể là \(x = 1\) (là nghiệm duy nhất trong miền số thực).