Để chứng minh tứ giác \( BEDF \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của nó vừa bằng nhau vừa song song.

### Bước 1: Xác định các điểm

- Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Theo đề bài, \( AE = CF \) và \( BM = DN \).

### Bước 2: Do tính chất của hình thoi

Trong hình thoi, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, ta có:

- \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

### Bước 3: Tính độ dài các đoạn thẳng

1. **Chứng minh \( BE = ED \) và \( DF = FB \)**:

- Do \( AE = CF \), khi đó \( BE \) và \( DF \) nằm giữa các đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \).
- Từ \( AE = CF \), suy ra \( BE = AO \) và \( DF = CO \).

2. **Chứng minh \( EF \parallel BD \)**:

- Vì \( BM = DN \) và \( BE \) cùng \( DF \) có cùng chiều dài từ \( B \) đến \( D \), nên \( EF \) song song với \( BD \).

### Bước 4: Kết luận

Từ các kết quả trên, ta có:
- \( BE = ED \)
- \( DF = FB \)
- \( EF \parallel BD \)

Như vậy, tứ giác \( BEDF \) là hình thoi khi có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

### Kết thúc

Từ các lý luận trên, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( BEDF \) là hình thoi.