Để tìm tất cả các số nguyên \( n \) sao cho \( n^4 + n^3 + n^2 \) là số chính phương, ta bắt đầu với biểu thức:

\[
n^4 + n^3 + n^2 = n^2(n^2 + n + 1)
\]

Quy tắc số chính phương cho chúng ta biết rằng một số là số chính phương khi nó có dạng \( k^2 \) cho một số nguyên \( k \).

Do đó, để \( n^4 + n^3 + n^2 \) là số chính phương, cả hai thành phần \( n^2 \) và \( n^2 + n + 1 \) cũng phải là số chính phương:

1. \( n^2 \) luôn là số chính phương cho mọi số nguyên \( n \).
2. \( n^2 + n + 1 \) cần phải là số chính phương.

Giả sử \( n^2 + n + 1 = m^2 \) cho một số nguyên \( m \):
\[
n^2 + n + 1 - m^2 = 0
\]

Thay vào đó, dùng công thức nghiệm:
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(m^2 - 1)}}{2}
\]

\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{4m^2 - 3}}{2}
\]

Giá trị \( 4m^2 - 3 \) phải là một số chính phương. Gọi nó là \( k^2 \):
\[
4m^2 - k^2 = 3
\]

Đây là một phương trình diophantine, và ta có thể chuyển về dạng:
\[
(2m - k)(2m + k) = 3
\]

Các cặp nhân là:
1. \( (1, 3) \)
2. \( (-1, -3) \)

Từ đó, giải từng trường hợp cho \( m \) và \( k \), tìm \( n \):

1. Từ \( 2m - k = 1 \) và \( 2m + k = 3 \), ta có:
- \( 4m = 4 \Rightarrow m = 1 \)
- \( k = 1 \)

2. Từ \( 2m - k = -1 \) và \( 2m + k = -3 \), ta có:
- \( 4m = -4 \Rightarrow m = -1 \)
- \( k = -1 \)

Giải phương trình sẽ cho giá trị của \( n \). Từ đó, ta sẽ kiểm tra giá trị nguyên \( n \).

Kết quả cuối cùng là các giá trị \( n \) mà thỏa mãn biểu thức trên.

**Trả lời:** Các số nguyên \( n \) có thể là 0 và 1.