### Bài 1: Chứng minh biểu thức không thuộc biến.

#### a) Chứng minh:
\[
(2x+3)(4x^2 - 6x + 9) - (2x-3)(4x^2 + 6x + 9)
\]

Ta sẽ khai triển cả hai biểu thức:

1. **Khai triển \( (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) \)**:
\[
= 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot (-6x) + 2x \cdot 9 + 3 \cdot 4x^2 + 3 \cdot (-6x) + 3 \cdot 9
\]
\[
= 8x^3 - 12x^2 + 18x + 12x^2 - 18x + 27
\]
\[
= 8x^3 + 27
\]

2. **Khai triển \( (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) \)**:
\[
= 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot 6x + 2x \cdot 9 - 3 \cdot 4x^2 - 3 \cdot 6x - 3 \cdot 9
\]
\[
= 8x^3 + 12x^2 + 18x - 12x^2 - 18x - 27
\]
\[
= 8x^3 - 27
\]

3. **Kết hợp lại**:
\[
(8x^3 + 27) - (8x^3 - 27) = 8x^3 + 27 - 8x^3 + 27 = 54
\]

Vì 54 không thuộc biến.

#### b) Chứng minh:
\[
(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
\]

1. **Khai triển \( (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \)**:
\[
= 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot 2x + 2x \cdot 1 - 1 \cdot 4x^2 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1
\]
\[
= 8x^3 + 4x^2 + 2x - 4x^2 - 2x - 1
\]
\[
= 8x^3 - 1
\]

2. **Khai triển \( 8(x + 2)(x^2 - 2x + 4) \)**:
\[
= 8[(x \cdot x^2) + (x \cdot -2x) + (x \cdot 4) + (2 \cdot x^2) + (2 \cdot -2x) + (2 \cdot 4)]
\]
\[
= 8[x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8]
\]
\[
= 8[x^3 + 8]
\]
\[
= 8x^3 + 64
\]

3. **Kết hợp lại**:
\[
(8x^3 - 1) - (8x^3 + 64) = -1 - 64 = -65
\]

Vì -65 không thuộc biến.

---

### Bài 2: Khai triển các hằng đẳng thức sau.

#### a) \( (2x + y)^2 \):
\[
= (2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2
\]

#### b) \( \left(x - \frac{3}{2}\right) + 2 \):
Biểu thức này không phải là hằng đẳng thức.

#### c) \( (x + 3)^3 \):
\[
= (x + 3)(x + 3)(x + 3) = (x^2 + 6x + 9)(x + 3) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27
\]

#### d) \( (x + 2y)^3 \):
\[
= (x + 2y)(x + 2y)(x + 2y) = (x^2 + 4xy + 4y^2)(x + 2y)
\]
\[
= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
\]

#### e) \( \left(\frac{1}{2}x - 1\right)^3 \):
\[
= \left(\frac{1}{2}x\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}x\right)^2(1) + 3\left(\frac{1}{2}x\right)(1^2) - 1^3
\]
\[
= \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x - 1
\]

---

### Bài 3: Viết gọn các biểu thức sau thành hằng đẳng thức.

#### a) \( x^2 + 4x + 4 \):
\[
= (x + 2)^2
\]

#### b) \( 16a^2 - 16ab + 4b^2 \):
\[
= (4a - 2b)^2
\]

#### c) \( 1 + 6x + 12x^2 + 8x^3 \):
\[
= (2x + 1)^3
\]

#### d) \( 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3 \):
\[
= (2x - 3y)^3
\]

#### e) \( 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 \):
\[
= (3 + 2x)^3
\]

#### g) \( 64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3 \):
\[
= (4x - 3y)^3
\]

Hy vọng các bước thực hiện trên giúp ích cho bạn trong việc hiểu rõ hơn về quá trình chứng minh và khai triển hằng đẳng thức!