Tim các số x, y biết: \( x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 = 0 \)

Để giải phương trình \( x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 = 0 \), chúng ta cần biến đổi và phân tích phương trình này.

1. **Sắp xếp lại các hạng tử**:

\[
x^2 - 2xy - 12x + 6y^2 + 2y + 41 = 0
\]

2. **Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \)**:

\[
x^2 - (2y + 12)x + (6y^2 + 2y + 41) = 0
\]

3. **Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai**:

Phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với:
- \( a = 1 \)
- \( b = -(2y + 12) \)
- \( c = 6y^2 + 2y + 41 \)

Nghiệm của phương trình bậc hai là:

\[
x = \frac{-(b) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

4. **Tính toán các thông số**:

- Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
b^2 = (2y + 12)^2 = 4y^2 + 48y + 144
\]

\[
4ac = 4 \cdot 1 \cdot (6y^2 + 2y + 41) = 24y^2 + 8y + 164
\]

Từ đó:

\[
b^2 - 4ac = (4y^2 + 48y + 144) - (24y^2 + 8y + 164) = -20y^2 + 40y - 20
\]

5. **Giải bất phương trình**:

Để có nghiệm thực cho \( x \), điều kiện cần có là:

\[
b^2 - 4ac \geq 0
\]

Tức là:

\[
-20y^2 + 40y - 20 \geq 0
\]

Chia cả phương trình cho -20:

\[
y^2 - 2y + 1 \leq 0
\]

Phương trình này có thể được viết dưới dạng:

\[
(y - 1)^2 \leq 0
\]

Điều này chỉ xảy ra khi \( y = 1 \).

6. **Thay giá trị \( y = 1 \) vào phương trình để tìm \( x \)**:

\[
x^2 - 2(1)x - 12x + 6(1)^2 + 2(1) + 41 = 0
\]

\[
x^2 - 14x + 49 = 0
\]

\[
(x - 7)^2 = 0
\]

Vậy \( x = 7 \).

7. **Kết luận**:

Giá trị của \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình là:

\[
(x, y) = (7, 1)
\]