Cho phân thức \( A = \frac{3x^3 + 3x}{x^2 + 2x + 1} \).

### a) Với giá trị nào của \( x \) thì giá trị của phân thức được xác định?

Để phân thức \( A \) được xác định, mẫu số không được bằng 0. Do đó, ta cần giải phương trình:

\[
x^2 + 2x + 1 = 0
\]

Phương trình này có thể được phân tích là:

\[
(x + 1)^2 = 0
\]

Do đó, \( x + 1 = 0 \) suy ra \( x = -1 \).

Vậy, phân thức \( A \) được xác định với mọi giá trị của \( x \) ngoại trừ \( x = -1 \).

### b) Rút gọn và tính giá trị của phân thức tại \( x = 4 \)

Trước tiên, ta rút gọn phân thức:

Phân thức có thể viết lại là:

\[
A = \frac{3x(x^2 + 1)}{(x + 1)^2}
\]

Giờ ta tính giá trị của phân thức tại \( x = 4 \):

\[
A(4) = \frac{3(4)(4^2 + 1)}{(4 + 1)^2}
\]

Tính toán:

- \( 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \)
- \( (4 + 1)^2 = 5^2 = 25 \)

Vậy:

\[
A(4) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 17}{25} = \frac{204}{25}
\]

Do đó, giá trị của phân thức tại \( x = 4 \) là \( \frac{204}{25} \).