Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

**a) Tính số đo \( \angle DAB \)**:

Vì \( DA \parallel BC \) và \( \angle ABC = 60^\circ \), theo tính chất của góc đồng vị, ta có:

\[
\angle DAB = \angle ABC = 60^\circ
\]

**b) Chứng tỏ \( AD \) là tia phân giác của \( \angle EAB \)**:

Ta có \( \angle ABC = \angle DAB = 60^\circ \). Gọi \( \angle EAB = \angle BAC \). Khi đó, do \( \triangle ABC \) là tam giác có hai góc bằng nhau (cả \( \angle ABC \) và \( \angle BAC \) đều bằng \( 60^\circ \)), ta có:

\[
\angle EAB = 60^\circ \text{ và } \angle DAB = 60^\circ \Rightarrow AD \text{ là tia phân giác của } \angle EAB.
\]

**c) Lấy điểm \( K \) nằm khác phía điểm \( D \) so với đường thẳng \( EC \) sao cho \( \angle KAC = 60^\circ \)**:

Khi đó, để đảm bảo rằng \( \angle KAC = 60^\circ \), ta có thể chọn điểm \( K \) sao cho:

1. \( AK \) tạo với \( AC \) góc \( 60^\circ \).
2. Điểm \( K \) phải nằm ở phía đối diện với điểm \( D \) (tức là nằm bên ngoài tam giác \( ABC \)).

**Chứng minh ba điểm \( D, A, K \) thẳng hàng**:

Nếu \( K \) được chọn đúng cách sao cho \( \angle KAC = 60^\circ \) và \( AD \) là tia phân giác, ta nhận thấy rằng các góc đều cùng bằng \( 60^\circ \). Do đó, các điểm \( D, A, K \) sẽ nằm trên một đường thẳng.

Tóm lại, với các bước trên, ta hoàn thành các yêu cầu của bài toán.