Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a và điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng BC, CA, AB

Để chứng minh \( AF + BD + CE = \frac{3a}{2} \), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất hình học của tam giác đều và các hình chiếu của điểm \( M \).

1. **Tam giác ABC đều**:
- Tam giác ABC đều có cạnh \( a \).
- Các góc của tam giác đều đều bằng \( 60^\circ \).

2. **Hình chiếu**:
- Gọi \( D, E, F \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên các đường thẳng \( BC, CA, AB \) tương ứng.

3. **Tính chu vi của tam giác DEF**:
- Ta có ba đoạn thẳng \( AF, BD, CE \) có thể tính được bằng cách sử dụng định nghĩa về cạnh của tam giác đều và các hình chiếu:
- \( AF \) là khoảng cách từ điểm \( M \) đến cạnh \( AB \).
- \( BD \) là khoảng cách từ điểm \( M \) đến cạnh \( BC \).
- \( CE \) là khoảng cách từ điểm \( M \) đến cạnh \( CA \).

4. **Các khoảng cách**:
- Sử dụng định lý về hình chiếu và tâm trọng tâm (centroid) của tam giác đều, ta có:
\[
AF + BD + CE = \text{diện tích của tam giác ABC} / a
\]

5. **Diện tích của tam giác đều**:
- Diện tích của tam giác ABC là:
\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

6. **Tổng chiều cao**:
- Tổng chiều cao từ điểm \( M \) đến ba cạnh của tam giác sẽ bằng tổng các hình chiếu của \( M \):
\[
AF + BD + CE = \frac{S}{(1/3) \cdot a} = \frac{3 \cdot S}{a}
\]

7. **Kết luận**:
- Thay diện tích \( S \) và từ đó suy ra:
\[
AF + BD + CE = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{a} = \frac{3a}{2}
\]
- Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
AF + BD + CE = \frac{3a}{2}
\]

Do đó, ta có thể kết luận là \( AF + BD + CE = \frac{3a}{2} \).