Để giải phương trình \(x^3 + 3x^2 - 15x + 11 = \frac{(x^2 + 5x - 12)^2}{4}\), ta bắt đầu bằng cách nhân hai bên phương trình với 4 để loại bỏ mẫu:

\[
4(x^3 + 3x^2 - 15x + 11) = (x^2 + 5x - 12)^2
\]

Thay đổi về phương trình sẽ trở thành:

\[
4x^3 + 12x^2 - 60x + 44 = (x^2 + 5x - 12)(x^2 + 5x - 12)
\]

Giờ ta sẽ bình phương bên phải. Mở rộng biểu thức:

\[
(x^2 + 5x - 12)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2 - 24x^2 - 120x + 144 = x^4 + 10x^3 + x^2 - 120x + 144
\]

Giờ thay vào phương trình và sắp xếp lại:

\[
4x^3 + 12x^2 - 60x + 44 = x^4 + 10x^3 + x^2 - 120x + 144
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một bên:

\[
0 = x^4 + 10x^3 - 4x^3 + x^2 - 12x^2 - 120x + 60x + 144 - 44
\]

Sắp xếp lại:

\[
0 = x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 60x + 100
\]

Ta có phương trình bậc 4. Phương pháp tiếp theo là thử tìm nghiệm bằng hệ thống thử. Ta có thể sử dụng các giá trị nguyên và thử xem đâu là nghiệm của phương trình này. Thử các giá trị từ -10 đến 10.

Tìm được nghiệm sẽ giúp công việc phân tích sâu hơn về phương trình này. Nếu không có nghiệm nguyên, ta có thể sử dụng công thức bậc 4 hoặc phương pháp đồ thị để tìm nghiệm.

Sau khi thử nghiệm, ta cần kiểm tra các giá trị để tìm ra nghiệm của phương trình.