Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3 \), chúng ta sẽ phân tích từng thành phần của biểu thức.

1. **Xác định các yếu tố của biểu thức**:
- Phần tử \( (x - 1)^2 \) là một hình thang (quadratic) có giá trị không âm (tức là \( \geq 0 \)) cho mọi giá trị của \( x \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( (x - 1)^2 \) đạt được khi \( x - 1 = 0 \) tức là khi \( x = 1 \). Khi đó, \( (x - 1)^2 = 0 \).

2. **Thay giá trị \( x = 1 \) vào biểu thức \( M \)**:
\[
M = \frac{1}{2}(1 - 1)^2 + 3 = \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3
\]

3. **Kết luận**:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là \( 3 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là **3**.