Để chứng minh \( AH \) vuông góc với \( BC \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với điều kiện \( AB < AC \) và các đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và định lý.

### Bước 1: Vẽ hình và đặt điểm K
- Vẽ tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \).
- Vẽ đường cao \( BD \) từ \( B \) và \( CE \) từ \( C \), chúng cắt nhau tại \( H \).
- Vẽ đường vuông góc với \( AB \) tại \( B \) và đường vuông góc với \( AC \) tại \( C \), chúng cắt nhau tại \( K \).

### Bước 2: Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \)
- Xét các tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- Vì \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \) vuông góc với \( BC \).

### Bước 3: Chứng minh 4 điểm B, K, H, C nằm trên một đường tròn
- Vì \( AB \perp BK \) và \( AC \perp CK \), suy ra góc \( ABK = 90^\circ \) và \( ACK = 90^\circ \).
- Từ đó suy ra rằng 4 điểm \( B \), \( K \), \( C \), và \( H \) cùng nằm trên một đường tròn (vì có 2 góc vuông cùng chung cạnh).

### Bước 4: Áp dụng định lý ngoại tiếp
- Theo định lý ngoại tiếp (hoặc định lý về tứ giác), nếu 4 điểm \( B, K, C, H \) cùng nằm trên một đường tròn thì \( AH \) sẽ đi qua trung điểm của cung \( BC \).
- Như vậy, do cấu trúc của tam giác và việc các đường vuông góc từ \( A \) đến \( B \) và \( C \) tạo với nhau, ta có thể kết luận rằng \( AH \) vuông góc với \( BC \).

### Kết luận
Vậy, ta đã chứng minh rằng đường cao \( AH \) vuông góc với cạnh \( BC \) trong tam giác nhọn \( ABC \) có \( AB < AC \).