Chứng minh bất đẳng thức sau

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức nổi tiếng và tính chất của các hàm số. Ta có bất đẳng thức cần chứng minh như sau:

\[
\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + b^2} + \frac{c}{1 + c^2} \leq \frac{3}{2} \quad \text{ và } \quad \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} \geq \frac{3}{2}
\]

### Bước 1: Chứng minh \(\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + b^2} + \frac{c}{1 + c^2} \leq \frac{3}{2}\)

Ta có hàm số \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \). Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm:

\[
f'(x) = \frac{(1 + x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}
\]

Hàm \( f'(x) = 0 \) khi \( x = 1 \).

- Khi \( x < 1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm dương)
- Khi \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \)
- Khi \( x > 1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm âm)

Từ đó, ta biết \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \):

\[
f(1) = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}
\]

Từ giả thiết \( a + b + c \leq 3 \), ta cũng có \( a, b, c \leq 3 \). Vậy ta có:

\[
\frac{a}{1 + a^2} \leq \frac{1}{2}, \quad \frac{b}{1 + b^2} \leq \frac{1}{2}, \quad \frac{c}{1 + c^2} \leq \frac{1}{2}
\]

Tổng ba bất đẳng thức này thì:

\[
\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + b^2} + \frac{c}{1 + c^2} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

### Bước 2: Chứng minh \(\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} \geq \frac{3}{2}\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(1 + a) + (1 + b) + (1 + c) \geq \frac{(1 + 1 + 1)^2}{\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c}} = \frac{9}{\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c}}
\]

Sau đó, ta có:

\[
\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} \geq \frac{9}{(a + b + c) + 3}
\]

Bởi vì \( a + b + c \leq 3 \), suy ra:

\[
\frac{9}{(a + b + c) + 3} \geq \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
\]

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + b^2} + \frac{c}{1 + c^2} \leq \frac{3}{2} \quad \text{và} \quad \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} \geq \frac{3}{2}
\]

Do đó, ta kết luận rằng:

\[
\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + b^2} + \frac{c}{1 + c^2} \leq \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c}
\]

Chứng minh hoàn tất.