Dưới đây là các bước để rút gọn các biểu thức đã cho:

1. **Biểu thức 1:**
\[
\frac{5}{14} \cdot 12 - \frac{1}{2} - \frac{5}{14} \cdot \frac{5}{2}
\]
Thực hiện từng phép tính:
- \(\frac{5}{14} \cdot 12 = \frac{5 \cdot 12}{14} = \frac{60}{14} = \frac{30}{7}\)
- \(\frac{5}{14} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{28}\)

Sau đó, tính:
\[
\frac{30}{7} - \frac{1}{2} - \frac{25}{28}
\]
Tìm mẫu số chung là 28:
\[
\frac{30}{7} = \frac{120}{28}, \quad - \frac{1}{2} = -\frac{14}{28}
\]

Vậy, biểu thức trở thành:
\[
\frac{120}{28} - \frac{14}{28} - \frac{25}{28} = \frac{120 - 14 - 25}{28} = \frac{81}{28}
\]

2. **Biểu thức 2:**
\[
\frac{11}{24} - \frac{25}{31} + 0.5 - \frac{37}{31}
\]
Chuyển đổi \(0.5\) thành phân số:
\[
0.5 = \frac{1}{2}
\]
Tính toán:
\[
\frac{11}{24} - \frac{25}{31} + \frac{1}{2} - \frac{37}{31}
\]
Tìm mẫu số chung là 186:
\[
\frac{11}{24} = \frac{86}{186}, \quad \frac{1}{2} = \frac{93}{186}
\]

Biểu thức trở thành:
\[
\frac{86}{186} - \frac{62}{186} - \frac{186}{186} = \frac{86 - 62 - 186}{186} = \frac{-162}{186} = -\frac{27}{31}
\]

3. **Biểu thức 3:**
\[
\frac{3}{4} - \frac{5}{6} + \frac{2}{3}
\]
Tìm mẫu số chung là 12:
\[
\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}
\]

Tính toán:
\[
\frac{9}{12} - \frac{10}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9 - 10 + 8}{12} = \frac{7}{12}
\]

4. **Biểu thức 4:**
\[
\frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{11}{21}\right) - \frac{4}{21} \cdot \frac{7}{9}
\]
Tính toán từng phần:
\[
\frac{7 \cdot (-11)}{9 \cdot 21} - \frac{4 \cdot 7}{21 \cdot 9} = \frac{-77}{189} - \frac{28}{189}
\]
Vậy:
\[
\frac{-77 - 28}{189} = \frac{-105}{189} = -\frac{35}{63} = -\frac{5}{9}
\]

**Tóm tắt kết quả các biểu thức:**
1. \(\frac{81}{28}\)
2. \(-\frac{27}{31}\)
3. \(\frac{7}{12}\)
4. \(-\frac{5}{9}\)