Chúng ta có hình bình hành \( ABCD \) với các điểm \( E \) và \( F \) được xác định như sau:

- \( E \) là trung điểm của \( BC \)
- \( F \) là trung điểm của \( AE \)

Ta cũng biết rằng trong một hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

### Xác định các vector

1. **Vector \( AB \) và \( AD \)**:
- Giả sử \( \vec{AB} = \vec{b} \) và \( \vec{AD} = \vec{a} \).

2. **Tọa độ các điểm**:
- Nếu ta cho \( A(0, 0) \), \( B(b_x, b_y) \), \( D(a_x, a_y) \) thì:
- \( C \) có tọa độ \( (b_x + a_x, b_y + a_y) \)
- \( E \) sẽ là trung điểm của \( BC \):
\[
E = \left( \frac{b_x + (b_x + a_x)}{2}, \frac{b_y + (b_y + a_y)}{2} \right) = \left(b_x + \frac{a_x}{2}, b_y + \frac{a_y}{2}\right)
\]

3. **Tính \( F \)**:
- \( F \) là trung điểm của \( AE \):
\[
F = \left( \frac{0 + \left(b_x + \frac{a_x}{2}\right)}{2}, \frac{0 + \left(b_y + \frac{a_y}{2}\right)}{2} \right) = \left(\frac{b_x + \frac{a_x}{2}}{2}, \frac{b_y + \frac{a_y}{2}}{2} \right)
\]

### Phân tích vector \( \vec{BF} \)

Vector \( \vec{BF} \) có thể được tính như sau:
\[
\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B}
\]
Từ đó, chúng ta sẽ có dạng:
\[
\vec{BF} = \left(\frac{b_x + \frac{a_x}{2}}{2} - b_x, \frac{b_y + \frac{a_y}{2}}{2} - b_y\right)
\]
Biến đổi và giản ước sẽ cho ra hệ số \( x \) và \( y \).

### Kết quả

Từ các biểu thức trên, ta sẽ có:
\[
\vec{BF} = x \vec{AB} + y \vec{AD}
\]
Với \( S = 2x + 8y \), ta cần tính giá trị này dựa vào mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \) được xác định từ xác định trọng số các vector.

Để có thể tính \( S \), ta cần chi tiết hơn về các phép toán cụ thể mà bạn có trong bài. Nếu có thêm thông tin về các giá trị \( x \) và \( y \), ta sẽ có thể tính toán trực tiếp.