Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh ADEF là hình chữ nhật.

1. **Khẳng định:** Vì \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( E \) lên \( AB \) và \( AC \), nên \( AD \perp AB \) và \( AE \perp AC \).
2. **Kết luận:** Do \( AD \perp AB \) và \( AE \perp AC \), nên góc \( AED \) vuông.
3. **Xét hình dạng:** Hơn nữa, do \( AE \) là trung tuyến, \( AE = DE \), nên \( ADEF \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh DF // BC.

- Do \( DF \) là đoạn thẳng được dựng từ điểm \( D \) (có hình chiếu thẳng vuông góc lên \( AC \)), ta có:
- Từ đó suy ra \( DF \) song song với \( BC \) vì cả hai đều vuông góc với \( AC \).

### c) Chứng minh BDDFE là hình bình hành.

- Vì \( ADEF \) đã là hình chữ nhật, nên:
- Ta sẽ có các cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật này là bằng nhau.
- Suy ra \( BD = EF \) và \( DF = BE \), do đó \( BDEF \) cũng là hình bình hành.

### d) Chứng minh F là trung điểm của AC.

- Vì \( AE \) là trung tuyến từ \( A \) đến \( E \), \( F \) là trung điểm nên \( AF = FC \).

### e) Chứng minh DFEH là hình thang cân.

- Ta đã biết \( DF // BC \) nên \( DFEH \) sẽ thỏa mãn là hình thang.
- Do có hai cặp cạnh bên bằng nhau và song song nên \( DFEH \) là hình thang cân.

### f) Lấy M sao cho F là trung điểm của EM và N sao cho F là trung điểm của BN. Chứng minh A, N, M thẳng hàng.

1. **Khẳng định:** Nếu \( F \) là trung điểm của \( EM \) và \( BN \), nên \( EF = FM \) và \( BF = FN \).
2. **Kết luận:** Từ \( A \) đến \( F \), nếu ta kéo dài \( AN \) và \( AM \) với độ dài như nhau, ta sẽ có điểm \( A, N, M \) thẳng hàng.

Mỗi phần trên là các bước giải thích logic có thể chứng minh cho các tính chất của các hình và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác.