Cho hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + ax - 4}}{x}} \right|\) (\(a\) là tham số). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {1;4} \right]\).
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Phát biểu | Đúng | Sai |
Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\). | ||
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất \(M = - a + 3\) khi \(a < - 3\). | ||
Có 2 giá trị thực của \(a\) để \(M + 2m = 7\). |
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Phát biểu | Đúng | Sai |
Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\). | X | |
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất \(M = - a + 3\) khi \(a < - 3\). | X | |
Có 2 giá trị thực của \(a\) để \(M + 2m = 7\). | X |
Giải thích
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + ax - 4}}{x}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\).
Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{{{x^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = a - 3\\\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 4 \right) = a + 3\end{array} \right.\)TH1: \(a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > 3\).
Ta có \(\left[ \begin{array}{l}\left| {a - 3} \right| = a - 3\\\left| {a + 3} \right| = a + 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = a - 3\\M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = a + 3\end{array} \right.\)
Khi đó \(M + 2m = 7 \Leftrightarrow a + 3 + 2\left( {a - 3} \right) = 7 \Leftrightarrow a = \frac{3}\) (thỏa mãn).
TH2: \(a + 3 < 0 \Leftrightarrow a < - 3\).
\(\left[ \begin{array}{l}\left| {a - 3} \right| = - a + 3\\\left| {a + 3} \right| = - a - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = - a - 3\\M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = - a + 3\end{array} \right.\)
Khi đó \(M + 2m = 7 \Leftrightarrow - a + 3 + 2\left( { - a - 3} \right) = 7 \Leftrightarrow a = - \frac{3}\) (thỏa mãn).
TH3:\(a - 3 \le 0 \le a + 3 \Leftrightarrow - 3 \le a \le 3\).
Ta có \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{|a + 3\mid = a + 3\,\,\,}\\{|a - 3\mid = - a + 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} |g\left( x \right)\mid = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} |g\left( x \right)\mid = {\rm{max}}\left\{ {a + 3; - a + 3} \right.}\end{array}} \right.\]
Khi đó \(M + 2m = 7 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a + 3 + 2.0 = 7\\a + 3 \ge - a + 3\end{array}\\\begin{array}{l} - a + 3 + 2.0 = 7\\ - a + 3 > a + 3\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 4\\a \ge 0\end{array}\\\begin{array}{l}a = - 4\\a < 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = \pm 4\) (không thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(a = \pm \frac{3}\).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |