Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IM lấy điểm K sao cho IK = IM. Chứng minh AMCK là hình thoi

Để chứng minh rằng tứ giác AMCK là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng bốn cạnh AM, MC, CK và AK đều bằng nhau.

1. **Đặt các thông số**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Điểm \( I \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( I \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = (0, \frac{c}{2}) \).
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( M \left( \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \).

2. **Tính độ dài các cạnh**:
- **Tính độ dài AM**:
\[
AM = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2 } = \sqrt{ \frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4} } = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2}
\]
- **Tính độ dài AI**:
\[
AI = \sqrt{ \left( 0 - 0 \right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0 \right)^2 } = \frac{c}{2}
\]

3. **Tính độ dài CK**:
- Xét điểm \( K \) nằm trên tia đối diện với tia \( IM \). Với \( IK = IM \) và \( I \) là trung điểm, nên:
\[
IK = IM = |IM| = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \right)^2 } = \frac{b}{2}
\]

4. **Tính độ dài CK**:
- Khi đó điểm \( K \) nằm bên kia của điểm \( I \) nên chúng ta có:
\[
K = I + \vec{IM} = K = \left( 0, \frac{c}{2} \right) + \left( \frac{b}{2}, 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

5. **Kiểm tra độ dài AC**:
- Gọi độ dài \( AC = \sqrt{h^2 + i^2} = b \) và \( c \).

6. **Kết luận**:
- Ta đã chứng minh rằng:
\[
AM = AI = CK = AK
\]
- Do đó, tứ giác AMCK là hình thoi, vì có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Vậy AMCK là hình thoi, ta có thể hoàn tất chứng minh.