Để chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn, chúng ta có thể dựa vào tính chất của tứ giác (MNPQ) với điều kiện đã cho: góc MNP + góc PQM = 180°.

### Bước 1: Chứng minh tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp.

Theo tính chất của các góc trong tứ giác nội tiếp, ta có:
- Nếu 2 góc đối tính trong một tứ giác có tổng bằng 180°, thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp (tức là bốn điểm thuộc một đường tròn).

Trong trường hợp này, ta có:

\[
\angle MNP + \angle PQM = 180°
\]

Do đó, by thỏa mãn điều kiện trên, chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp. Vậy M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

### Bước 2: So sánh độ dài của MP và NQ.

Để so sánh độ dài của MP và NQ, ta có thể sử dụng định lý về các dây cung trong đường tròn.

- Theo định lý về dây cung: Trong một đường tròn, nếu hai dây cung (MP và NQ) có cùng chiều dài thì chúng sẽ tạo ra các cung cùng độ dài.
- Tuy nhiên, để so sánh hai đoạn MP và NQ cụ thể (nếu không có thông tin thêm về các góc hoặc vị trí của các điểm), chúng ta không thể khẳng định được mối quan hệ giữa chúng.

**Kết luận:**
- MNPQ là tứ giác nội tiếp ⇒ bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
- Đối với bài toán so sánh MP và NQ, chúng ta cần thêm thông tin hoặc điều kiện khác để đưa ra kết luận rõ ràng về độ dài của chúng.