Để chứng minh tam giác \( BDH \) đồng dạng với tam giác \( ADC \), ta có thể sử dụng lượng giác và tính chất của tam giác.

### Bước 1: Tính toán độ dài của đoạn cao

Theo đề bài, ta có tỉ số:

\[
\frac{HD}{HA} = \frac{1}{2}
\]

Đặt \( HD = x \) và \( HA = 2x \).

Do đó, độ dài đoạn \( AD \) là:

\[
AD = AH + HD = 2x + x = 3x
\]

### Bước 2: Sử dụng tính chất đường cao và tỉ số chiều cao

Tam giác \( ABC \) là tam giác nhọn, và \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( AD \) và \( BE \). Do đó, ta có thể thấy rằng:

- Đoạn \( BD \) là chiều cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \) và \( H \) là phần chia của chiều cao \( AD \).
- Đoạn \( AC \) là cạnh tác động của tam giác \( ADC \).

### Bước 3: Xét tỉ số các cạnh tỉ lệ và góc tương ứng

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng:

1. **Góc \( ADB \) và góc \( BHD \)**:
- \( \angle ADB = \angle BHD \) (cùng chéo)

2. **Góc \( ABD \) và góc \( DHC \)**:
- \( \angle ABD = \angle DHC \) (cùng chéo)

### Bước 4: Kết luận đồng dạng

Với việc sử dụng tỉ số của các cạnh và góc đã chứng minh, ta có:

\[
\frac{BD}{AD} = \frac{HD}{HA} = \frac{1}{2}
\]

Kết hợp lại, theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng:

\[
\triangle BDH \sim \triangle ADC
\]

Vậy là chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác \( BDH \) đồng dạng với tam giác \( ADC \).