Để giải phương trình \( x(x + 5)^3 = \frac{1}{8} \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Đưa phương trình về dạng dễ giải hơn**:
Nhân cả hai vế với 8 để loại bỏ mẫu:
\[
8x(x + 5)^3 = 1
\]

2. **Đặt \( y = (x + 5) \)**:
Khi đó, \( x = y - 5 \) và phương trình trở thành:
\[
8(y - 5)y^3 = 1
\]

Mở rộng phương trình:
\[
8(y^4 - 5y^3) = 1
\]
\[
8y^4 - 40y^3 - 1 = 0
\]

3. **Sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm**:
Ta sẽ sử dụng quy tắc thử nghiệm hoặc phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm của phương trình bậc 4 này.

4. **Tìm nghiệm**:
Sau khi thử nghiệm các giá trị khác nhau, ta có thể sử dụng phép thử để kiểm tra:
\[
y = 1 \Rightarrow 8(1)^4 - 40(1)^3 - 1 = -33 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]
\[
y = 2 \Rightarrow 8(2)^4 - 40(2)^3 - 1 = -1 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]
\[
y = 3 \Rightarrow 8(3)^4 - 40(3)^3 - 1 = 301 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]
\[
y = 4 \Rightarrow 8(4)^4 - 40(4)^3 - 1 = 1361 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp số như phương pháp Newton-Raphson để tìm nghiệm chính xác hơn.

5. **Biến đổi lại về \( x \)**:
Sau khi tìm \( y \), ta sẽ đổi ngược lại để tìm \( x \):
\[
x = y - 5
\]

Tóm lại, bước cuối sẽ là tìm nghiệm của phương trình bậc 4 mà không có nghiệm nguyên, ta có thể sử dụng công cụ hỗ trợ hoặc phần mềm để tìm gần đúng giá trị của \( y \), sau đó tính giá trị của \( x \).

Nếu muốn, bạn có thể sử dụng công cụ tính toán để tìm nghiệm chính xác hơn hoặc thử nghiệm thêm các giá trị gần hơn.