Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để giải các bài toán trên, chúng ta sẽ từng bước tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong câu 4 và sau đó giải các câu còn lại.

### Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x,y) = 2x + 16y \)

**Hệ bất phương trình:**
1. \( 3x + 5y \leq 15 \)
2. \( x + y \leq 8 \)
3. \( x \geq 0 \)
4. \( y \geq 0 \)

**Bước 1: Vẽ đồ thị của các bất phương trình**

1. Từ bất phương trình \( 3x + 5y \leq 15 \), ta có
- Khi \( x=0 \): \( y = 3 \)
- Khi \( y=0 \): \( x = 5 \)

2. Từ bất phương trình \( x + y \leq 8 \), ta có
- Khi \( x=0 \): \( y = 8 \)
- Khi \( y=0 \): \( x = 8 \)

**Bước 2: Tìm các điểm giao nhau**

Giải hệ phương trình:

\[
3x + 5y = 15
\]
\[
x + y = 8
\]

Từ \( x + y = 8 \), suy ra \( y = 8 - x \), thay vào phương trình thứ nhất:

\[
3x + 5(8 - x) = 15 \implies 3x + 40 - 5x = 15 \implies -2x + 40 = 15 \implies 2x = 25 \implies x = 12.5 \quad (không hợp lệ)
\]

Chúng ta kiểm tra điểm giao giữa \( y = 0 \) và \( 3x + 5y = 15 \):

- Điểm \( (5, 0) \)

Chúng ta có thể kiểm tra khác nữa:

Giải phương trình giữa \( y=0 \) và \( x+y=8 \) cho \( x=5 \) hay \( y=8\):

- Điểm \( (0, 3) \)
- Điểm \( (5, 0) \)
- Điểm \( (3, 0) \) nơi giao nhau.

**Bước 3: Tính giá trị \( F(x,y) \) tại các đỉnh vùng khả thi**

1. \( F(0, 3) = 2(0) + 16(3) = 48 \)
2. \( F(5, 0) = 2(5) + 16(0) = 10 \)
3. \( F(3, 0) \)

Chọn điểm \( (0, 3) \) phát hiện ta đã đủ vùng khả thi:

=> Giá trị nhỏ nhất \( F(5, 0) = 10 \)

### Câu 5: Tính giá trị biểu thức \( P = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a - \cos a} \)

Vì \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):

=> \( P = \frac{1}{\sin a - \cos a} \)

### Câu 6: Tính chiều cao \( h \) của tháp

Sử dụng định lý lượng giác hoặc Pythagoras cho tam giác \( ABC \):

- Với \( AB = 24m \)
- \( CAD = 63^{\circ} \)
- \( CBD = 48^{\circ} \)

Tính chiều cao \( h \):

\[
h = AB \cdot \tan(CAD) = 24 \cdot \tan(63^{\circ})
\]
\[
= 24 \cdot 1.9626 \quad (xấp xỉ 47.1)
\]

=> Chiều cao \( h \) của tháp là khoảng 47.1 m.

### Tổng kết

1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x,y) \) là **10**
2. Biểu thức \( P = \frac{1}{\sin a - \cos a} \)
3. Chiều cao tháp là khoảng **47.1 m**.