Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Kẻ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP > R

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

a) Ta có đường tròn (O; R) với đường kính AB. Đường kính AB sẽ nằm trên trục hoành và O là trung điểm của AB. Tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A và P là một điểm nằm trên tiếp tuyến này sao cho AP > R. Chúng ta biết rằng, đoạn PA vuông góc với радиус OA tại A, tức là PA ⊥ OA.

Kẻ tiếp tuyến PM từ P với đường tròn tại M. Ta có 2 hệ quả:
- BA ⊥ PA (vì PA là tiếp tuyến tại A).
- Dễ nhận thấy BM sẽ vuông góc với OA (do AM là bán kính).

Bây giờ, xem xét giao điểm N giữa đường thẳng vuông góc với AB tại O và BM, ta nhận thấy:

- BN là đoạn thẳng nối từ B đến N.
- Nhận thấy rằng góc BNA = góc OAP (góc giữa một đoạn thẳng và tiếp tuyến là đồng dạng).

Vì vậy trong tam giác BNA, nếu chúng ta xem O là gốc tọa độ và cho rằng O nằm trên đường thẳng vuông góc, điều này có nghĩa rằng BN // OP (theo tiêu chuẩn của các góc đồng dạng).

Tứ giác OAPN là một hình chữ nhật vì OA = OP (cùng là bán kính) và góc PAO, góc PAN đều vuông (vì PA ⊥ AO và AN vuông góc với AB).

b) Gọi K là giao điểm của AN với OP, E là giao điểm của ON với PM, và D là giao điểm của PN với OM. Chúng ta cần chứng minh rằng EK * ED = EO * EN.

Sử dụng Định lý Thales trên các đoạn thẳng này, chúng ta có thể thiết lập tỉ lệ giữa các đoạn thẳng:
- Xét tam giác OAN và OPAN, từ đó suy ra EK/EO = EN/ED (theo tỉ lệ của các đoạn đoạn thẳng cắt nhau tại điểm O).
- Nếu nhân chéo, ta có EK * ED = EO * EN.

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán theo yêu cầu.