Điền số thích hợp vào chỗ trống

Để tìm số thích hợp vào chỗ trống trong phương trình:

\[
\frac{103}{11000} + \frac{113}{11000} + \frac{123}{11000} + \ldots + \frac{1093}{11000} = \frac{777}{11000}
\]

Ta có thể viết lại phương trình:

\[
\frac{103 + 113 + 123 + \ldots + x + 1093}{11000} = \frac{777}{11000}
\]

Trong đó \(x\) là số cần tìm.

Trước tiên, cần tính tổng các số hạng từ 103 đến 1093 (cách nhau 10 đơn vị). Các số hạng này tạo thành một dãy số số học với số hạng đầu là \(103\), số hạng cuối là \(1093\), và công sai là \(10\).

Số hạng cuối (1093) và số hạng đầu (103) là:

\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\]

Trong đó:
- \(a_1 = 103\)
- \(a_n = 1093\)
- \(d = 10\)

Giải phương trình trên để tìm \(n\):

\[
1093 = 103 + (n-1) \times 10
\]
\[
990 = (n-1) \times 10
\]
\[
n-1 = 99 \Rightarrow n = 100
\]

Số hạng dãy là \(100\). Áp dụng công thức tính tổng:

\[
S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)
\]
\[
S_{100} = \frac{100}{2} \times (103 + 1093) = 50 \times 1196 = 59800
\]

Vậy tổng các số hạng từ 103 đến 1093 là \(59800\). Ta thay vào phương trình:

\[
\frac{59800 + x}{11000} = \frac{777}{11000}
\]

Tiến hành giải:

\[
59800 + x = 777
\]
\[
x = 777 - 59800 = -59023
\]

Vậy số thích hợp cần điền vào chỗ trống là \(-59023\).