Cho biểu thức \( A = \left( \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \) với \( x \geq 0, x \neq 1 \). Rút gọn biểu thức \( A \)

Để rút gọn biểu thức \( A = \left( \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn phần tử đầu tiên:
\[
A_1 = \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}}
\]
Để rút gọn, ta nhân tử số và mẫu số với đối của mẫu:
\[
A_1 = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{(x - (x-1))} = \sqrt{x} - \sqrt{x-1}
\]

Bước 2: Rút gọn phần tử thứ hai:
\[
A_2 = \frac{1}{\sqrt{x}-1}
\]

Bước 3: Nhân hai phần tử lại với nhau:
\[
A = A_1 \cdot A_2 = (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 1}
\]
Chúng ta có:
\[
A = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} - 1}
\]

Bước 4: Kiểm tra biểu thức và tìm điều kiện phân tích:
Nhận thấy \( A = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-1} \) có chứa phần tử giống nhau, ta có thể phân tích tiếp:
\[
A = \frac{(\sqrt{x} - 1)(1 + \sqrt{x-1})}{\sqrt{x}-1}
\]
Nếu \( x \neq 1 \), ta có thể rút gọn:
\[
A = 1 + \sqrt{x-1}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
A = 1 + \sqrt{x-1}, \quad x \geq 0, x \neq 1
\]