Để chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật, ta có thể làm theo các bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật

1. **Tính chất vuông góc**: Vì HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F, ta có:
- ΔAHB vuông tại A: HE vuông góc với AB.
- ΔAHC vuông tại A: HF vuông góc với AC.

2. **Sử dụng tính chất của các đường cao**: AH là đường cao, do đó, HE và HF đều là các đường cao từ E và F tới các cạnh AB và AC.

3. **Chứng minh các góc**:
- Xét góc AHE: Góc AHE = 90° (do HE vuông góc với AB).
- Xét góc AHF: Góc AHF = 90° (do HF vuông góc với AC).

4. **Kết luận**: Từ các góc vuông này, ta có thể kết luận rằng tứ giác AFHE có 2 góc vuông. Theo định nghĩa của hình chữ nhật, AFHE chắc chắn là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành

1. **Trên tia FH chọn M sao cho FH = FM**: Điều này tạo ra một đoạn thẳng mới, và do đã có mối liên hệ FH = FM nên AE = EM.

2. **Trên tia EH chọn N sao cho EH = EN**: Tương tự, việc này cũng tạo một đoạn thẳng mới, và do đã có mối liên hệ EH = EN nên AF = AN.

3. **Chứng minh tính chất đối diện**:
- AF = AN và EM = AE, hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AEFM bằng nhau.
- Do đó, tứ giác AEFM là hình bình hành.

### c) Chứng minh A, M, N thẳng hàng

1. **Cụ thể hóa các điểm M và N**:
- M nằm trên đường thẳng FH và N nằm trên đường thẳng EH, từ đó dễ dàng thấy được tính chất thẳng hàng.

2. **Sử dụng tính chất của hình bình hành**:
- Do AEFM là hình bình hành và AE//FM, AH // MN (các cặp cạnh đối diện), do đó A, M, N thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được các kết luận trong bài toán.