Chúng ta bắt đầu giải phương trình:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x+2} + \left( \frac{2}{3} \right)^{x+1} = \frac{80}{243}
\]

Đầu tiên, ta có thể viết lại các số hạng bên trái bằng cùng một cơ sở:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x+2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \frac{4}{9}
\]
\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x+1} = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{1} = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \frac{2}{3}
\]

Thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu, ta có:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \frac{4}{9} + \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \frac{2}{3} = \frac{80}{243}
\]

Ghi chú rằng ta có cùng một yếu tố \(\left( \frac{2}{3} \right)^{x}\), ta có thể gộp lại:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x} \left( \frac{4}{9} + \frac{2}{3} \right) = \frac{80}{243}
\]

Đưa về cùng mẫu số:

\[
\frac{4}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{10}{9}
\]

Vậy, phương trình trở thành:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x} \cdot \frac{10}{9} = \frac{80}{243}
\]

Giải cho \(\left( \frac{2}{3} \right)^{x}\):

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \frac{80}{243} \cdot \frac{9}{10} = \frac{80 \cdot 9}{243 \cdot 10} = \frac{720}{2430}
\]

Rút gọn \(\frac{720}{2430}\):

\[
720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5, \quad 2430 = 2 \cdot 3^5 \cdot 5
\]

Ta rút gọn:

\[
\frac{720 \div 30}{2430 \div 30} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}
\]

Bây giờ ta có:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \frac{8}{27}
\]

Chúng ta có thể viết lại \(\frac{8}{27}\) dưới dạng lũy thừa:

\[
\frac{8}{27} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \quad (bởi vì \; 8 = 2^3 \; và \; 27 = 3^3)
\]

Như vậy, ta có:

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3}
\]

Suy ra:

\[
x = 3
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{3}
\]