Tìm điều kiện của m để (m-1)x^2+2x+m=0 có ít nhất một nghiệm không âm

Để tìm các điều kiện của \( m \) để phương trình \( (m-1)x^2 + 2x + m = 0 \) có ít nhất một nghiệm không âm, ta làm theo các bước sau:

Phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với:

- \( a = m - 1 \)
- \( b = 2 \)
- \( c = m \)

### Bước 1: Điều kiện có nghiệm
Để phương trình có nghiệm, chúng ta cần điều kiện sau:

\[
D = b^2 - 4ac \geq 0
\]

Thay \( a \), \( b \), \( c \) vào công thức tính delta:

\[
D = 2^2 - 4(m-1)m = 4 - 4(m^2 - m) = 4 - 4m^2 + 4m
\]

Tương đương:

\[
D = -4m^2 + 4m + 4 \geq 0
\]

Chia cả hai vế cho -4 (đảo dấu bất đẳng thức):

\[
m^2 - m - 1 \leq 0
\]

### Bước 2: Giải bất phương trình bậc 2
Giải phương trình:

\[
m^2 - m - 1 = 0
\]

Công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Hai nghiệm là:

\[
m_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{và} \quad m_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\]

Phân tích dấu của \( m^2 - m - 1 \):

- Hàm bậc hai này có hướng lên và cắt trục hoành tại \( m_1 \) và \( m_2 \).
- Bất phương trình \( m^2 - m - 1 \leq 0 \) có nghĩa là \( m \) nằm trong khoảng \( \left[\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right] \).

### Bước 3: Xét nghiệm không âm
Một nghiệm của phương trình phải không âm, tức là \( x \geq 0 \).

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2(m - 1)}
\]

- Nghiệm \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{D}}{2(m - 1)} \) và \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{D}}{2(m - 1)} \).

Để nghiệm \( x_1 \geq 0 \):

\[
-2 + \sqrt{D} \geq 0 \quad \text{và} \quad m - 1 > 0 \text{ (chỉ xét trường hợp \( m > 1 \))}
\]

Vậy:

\[
\sqrt{D} \geq 2 \implies D \geq 4
\]

Tính \( D \):

\[
-4m^2 + 4m + 4 \geq 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -4m^2 + 4m \geq 0
\]
\[
4m(1 - m) \geq 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
m = 0 \text{ hoặc } m = 1
\]

### Kết luận
Tổng hợp lại các điều kiện:

1. \( m \in \left[\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right] \) để có nghiệm.
2. \( m \geq 1 \) để có nghiệm không âm.

Do đó, điều kiện của \( m \) để \( (m-1)x^2 + 2x + m = 0 \) có ít nhất một nghiệm không âm là:

\[
m \in [1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]
\]