Để chứng minh bất đẳng thức \((1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 1 - a - b - c - d\) cho các số thực \(a, b, c, d\) thỏa mãn \(0 < a, b, c, d < 1\), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và một số tính chất khác của các số dương.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng

\[
(1-a) = 1 - a, \quad (1-b) = 1 - b, \quad (1-c) = 1 - c, \quad (1-d) = 1 - d
\]

Vì \(0 < a, b, c, d < 1\), ta có \(1 - a, 1 - b, 1 - c, 1 - d > 0\).

Ta có thể phát triển vế trái của bất đẳng thức:

\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) = 1 - (a + b + c + d) + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) - (abc + abd + acd + bcd) + abcd
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) - (1 - a - b - c - d) > 0
\]

hay tương đương với

\[
(ab + ac + ad + bc + bd + cd) - (abc + abd + acd + bcd) + abcd > 0
\]

Chúng ta hãy xét điều kiện \(a, b, c, d\) là các số dương và nhỏ hơn 1. Ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng cặp số.

Theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
ab \leq \frac{a + b}{2} \cdot \frac{a + b}{2}
\]

Áp dụng tương tự cho các cặp khác, ta có:

\[
ab + ac + ad + bc + bd + cd \leq 3 \cdot \frac{(a + b + c + d)^{2}}{4}
\]

Do đó, phần \(abc + abd + acd + bcd\) cũng có thể được ước lượng bằng một hình thức tương tự.

Cuối cùng, áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số concave: \(f(x) = x \ln x\), có thể cho thấy rằng:

\[
\frac{f(a) + f(b) + f(c) + f(d)}{4} < f\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)
\]

Nhờ đó, qua các bước này, ta chứng minh được bất đẳng thức trên:

\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 1 - a - b - c - d
\]

Và như vậy, ta đã có phần chứng minh cho bất đẳng thức cần chứng minh.