Để chứng minh \( a \parallel b \) và tính \( \overline{D_1} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### Chứng minh \( a \parallel b \):

1. **Thông tin đã cho**:
- \( a \perp AB \) (đường thẳng \( a \) vuông góc với \( AB \))
- \( b \perp AB \) (đường thẳng \( b \) vuông góc với \( AB \))
- Góc \( \hat{C} = 100^\circ \)

2. **Chứng minh**:
- Hai đường thẳng \( a \) và \( b \) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( AB \).
- Theo tính chất của các đường thẳng vuông góc, nếu hai đường thẳng đều vuông góc với một đường thẳng khác, thì chúng sẽ song song với nhau.
- Do đó, \( a \parallel b \).

### Tính \( \overline{D_1} \):

1. **Góc liên quan**:
- Từ thông tin đã cho, chúng ta có:
- \( \hat{C} = 100^\circ \)
- Vì \( a \) và \( b \) song song, khi cung có 3 đường thẳng tương tác như vậy, ta có thể tính được các góc còn lại.

2. **Góc \( ACD \)**:
- Nếu \( \hat{DAB} = 90^\circ \) (do \( A \) là điểm nằm trên đường thẳng \( a \)), góc \( ABC \) cũng sẽ là \( 90^\circ \).
- Tổng góc trong tam giác \( ACB \):
\[
\hat{A} + 100^\circ + \hat{B} = 180^\circ
\]
- Với \( \hat{A} = 90^\circ \), suy ra \( \hat{B} = 180^\circ - 100^\circ - 90^\circ = -10^\circ \), điều này không hợp lệ.

Kiểm tra lại:
- Thực tế đúng nên \( D_1 \) sẽ là điểm đo từ A tới b. Để tính được, cần xác định chiều dài dựa trên hệ trục hoặc thông tin cụ thể hơn.

Kết luận: Vui lòng cung cấp thêm thông tin để tính chính xác chiều dài \( D_1 \).