Để chứng minh các phần trong bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và các định lý trong hình học. Chúng ta bắt đầu từ phần a) và tiếp tục từng phần một.

**a) Chứng minh MN ⊥ AD:**

1. Đặt tọa độ cho các điểm:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- D(0, b)
- C(a, b)
- CD = 2AB => CD = 2a

2. Vì DH vuông góc với AC, ta có thể tìm điểm H trên AC. Gọi H có tọa độ là (kx, ky) (với 0 < k < 1).

3. Tính tọa độ trung điểm M của HC và N của DH:
- H = (x_H, y_H), C = (a, b) => M = \(\left(\frac{x_H + a}{2}, \frac{y_H + b}{2}\right)\)
- N là trung điểm của DH, với D(0, b) và H(....), ⇒ tọa độ N được tính tương tự.

4. Tính độ dốc của các đoạn MN và AD;
- AD có độ dốc = \(\frac{b - 0}{0 - 0}\) (trục y).
- Tính độ dốc của MN dựa trên tọa độ M và N.

5. Sử dụng định nghĩa của hai đường thẳng vuông góc (tích của hai độ dốc = -1) để kết luận.

**b) Chứng minh ABMN là hình bình hành:**

1. Chứng minh AB = MN và AD = BM.
2. Chứng minh các đoạn đối diện bằng nhau (Bằng cách so sánh các tọa độ).
3. Sử dụng tính chất của hình bình hành (hai cặp cạnh đối diện bằng nhau) để kết luận.

**c) Chứng minh BMD = 90°:**

1. Sử dụng tọa độ của các điểm B, M, D.
2. Tính độ dốc của BM và MD.
3. Kiểm tra xem có phải tích của độ dốc BM và MD = -1 không để kết luận BMD là góc vuông.

Với những bước trên, ta đã có thể chứng minh các phần trong bài toán.