Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán hình học này, ta cần sử dụng một số định lý trong tam giác.

### a. Để chứng minh \( \triangle ABM = \triangle ACM \)

1. **Cạnh chung**: \( AM \) là cạnh chung của \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACM \).
2. **Cạnh bằng nhau**: \( AB = AC \) vì tam giác là cân tại A.
3. **Cạnh đáy bằng nhau**: \( BM = CM \) vì M là trung điểm của BC.

Từ ba yếu tố trên, theo định lý về tam giác, ta có:
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM \Rightarrow \angle ABM = \angle ACM
\]

### b. Để chứng minh \( AB \parallel CD \)

1. **Chú ý phương**: Trong \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACM \), ta có \( \angle ABM = \angle ACM \).
2. **Góc vuông**: \( ME \perp AB \) và \( MF \perp DC \) cho nên:
\[
\angle MEA + \angle MFE = 90^\circ
\]

Do đó, nếu \( AB \parallel CD \), ta sẽ có các góc so le trong bằng nhau.

### c. Để chứng minh \( M \) là trung điểm của \( EF \)

1. **Tính chất trung điểm**: Vì \( AB \parallel CD \) và \( ME \perp AB \), ta có thể áp dụng tính chất của các đường song song để chứng minh rằng \( M \) cũng phải là trung điểm của đoạn \( EF \).

Tóm lại, từ các bước chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.