Để tính giá trị biểu thức \( A = \frac{38}{50} + \frac{9}{11} + \frac{11}{30} + \frac{13}{42} + \frac{15}{56} + \frac{17}{72} + \ldots + \frac{197}{9702} + \frac{199}{9900} \), chúng ta hãy phân tích mẫu số và tử số của các phân số.

Cấu trúc chung:

- Tử số: \( 2n + 3 \) (với \( n = 1, 2, \ldots, 100 \))
- Mẫu số: \( n(n + 1) \) (phân tích từ các giá trị mẫu số đã cho như \( 50 = 5 \cdot 10 = 2 \cdot 25, 30 = 3 \cdot 10, 42 = 6 \cdot 7, \ldots \))

### Bước 1: Viết lại biểu thức

Mỗi số hạng của biểu thức có thể được viết lại như sau:
\[
A = \sum_{n=1}^{100} \frac{2n + 3}{n(n + 1)}
\]

### Bước 2: Tính tổng phân số

Ta phân tích từng phần tử:
\[
\frac{2n + 3}{n(n + 1)} = \frac{2n}{n(n + 1)} + \frac{3}{n(n + 1)} = \frac{2}{n + 1} + \frac{3}{n(n + 1)}
\]

Do đó, ta có thể tách tổng \( A \):
\[
A = \sum_{n=1}^{100} \left( \frac{2}{n + 1} + \frac{3}{n(n + 1)} \right)
\]

### Bước 3: Tính từng phần

1. Tính tổng thứ nhất:
\[
\sum_{n=1}^{100} \frac{2}{n + 1} = 2 \sum_{k=2}^{101} \frac{1}{k} = 2 \left( H_{101} - 1 \right)
\]
trong đó \( H_n \) là số Hằng số hạng.

2. Tính tổng thứ hai:
\[
\sum_{n=1}^{100} \frac{3}{n(n + 1)} = 3 \sum_{n=1}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)
\]
đây là tổng rút gọn, bằng 3.

### Bước 4: Tính toàn bộ

Kết quả cuối cùng:
\[
A = 2(H_{101} - 1) + 3
\]

Dễ thấy rằng \( H_{101} \) là một giá trị cụ thể, và bạn có thể sử dụng giá trị \( H_n \) để tìm kết quả tổng.

### Kết luận
Biểu thức \( A \) có thể được tính cụ thể phụ thuộc vào giá trị số hạng Hằng số. Việc tính \( H_{101} \) có thể thực hiện bằng phương pháp tính gần đúng hoặc bù trừ.

Để tiết kiệm thời gian, bạn có thể sử dụng một máy tính phù hợp hoặc bảng số Hằng số.