Để giải bài toán về hình thang ABCD với các điều kiện đã cho:

### a) Tính độ dài HD

1. **Áp dụng định lý Pytago** trong tam giác vuông AHD:
- Ta có \( AD = 5 \) cm, \( AH = 4 \) cm.
- Gọi \( HD \) là chiều dài cần tính.

Theo định lý Pytago:
\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
5^2 = 4^2 + HD^2
\]
\[
25 = 16 + HD^2
\]
\[
HD^2 = 25 - 16 = 9
\]
\[
HD = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh ABCD là hình thang cân

1. **Xét sự đối xứng trong hình thang**:
- Vì \( \overline{AC} = \overline{BC} \) (theo giả thiết), ta có tam giác AHC và BHC là hai tam giác vuông (với AH là đường cao) có cạnh huyền bằng nhau.
- Ta cũng có \( HD = 3 \text{ cm} \) là cạnh tương ứng trong hai tam giác đó.

2. **Sử dụng tính chất về các cạnh**:
- Hai tam giác AHD và BHC có chiều cao AH bằng nhau, và cạnh đáy wieder (AC, BC) bằng nhau, từ đó \( AH \) chính là đường trung bình.

3. **Kết luận**:
- Do đó, hai cạnh bên \( AB \) và \( CD \) cũng sẽ bằng nhau. Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Vậy kết luận được rằng \( HD = 3 \) cm và hình thang ABCD là hình thang cân.