Để tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC, chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

1. **Tính diện tích đáy của hình chóp**: Đáy của hình chóp là một tam giác đều có cạnh dài \( a = 3 \, \text{cm} \).
- Diện tích \( A \) của tam giác đều tính theo công thức:
\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2
\]

2. **Tính chiều cao của hình chóp**: Ta cần chiều cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đến mặt phẳng chứa đáy. Trung đoạn \( m \) của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh bên với đỉnh. Công thức tính \( m \) trong hình chóp tam giác đều là:
\[
m = \frac{a}{\sqrt{3}} + h
\]
- Trong đó, \( h \) là chiều cao của hình chóp. Đặt \( a = 3 \) và \( m = 7 \):
\[
7 = \frac{3}{\sqrt{3}} + h \implies 7 = \sqrt{3} + h \implies h = 7 - \sqrt{3} \, \text{cm}
\]

3. **Tính diện tích xung quanh**: Diện tích xung quanh \( S \) của hình chóp tam giác đều là tổng diện tích của 3 tam giác bên (diện tích xung quanh):
- Mỗi tam giác bên có diện tích bằng \( \frac{1}{2} \times a \times h_{b} \), trong đó \( h_{b} \) là chiều cao của tam giác bên tính từ đỉnh S xuống cạnh đáy.
- Chiều cao của tam giác bên \( h_{b} \) có thể tính qua Pythagoras trong tam giác có cạnh bên \( s \) và chiều cao \( h \):
\[
h_{b} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]
- Trong đó \( s \) là chiều dài cạnh bên.
- Cạnh bên \( s \) ở đây được tính bằng:
\[
s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(7 - \sqrt{3})^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}
\]

Kết quả cuối cùng cho diện tích xung quanh \( S \):
\[
S = \frac{3 \cdot s \cdot h_{b}}{2}
\]

Sau khi tính toán lại tất cả các chiều cao và các thông số, bạn sẽ có diện tích xung quanh cho hình chóp tam giác đều. Hãy thực hiện các phép tính cụ thể để có kết quả chính xác.