Để chứng minh rằng \( D \) chia hết cho 21, ta cần tính giá trị của \( D \):

\[
D = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \cdots + 4^{59}
\]

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( a = 1 \) và công bội \( q = 4 \). Số hạng cuối là \( 4^{59} \). Số lượng hạng trong dãy này là 60, vì ta có hạng từ \( 0 \) đến \( 59 \).

Công thức tính tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó \( n \) là số lượng hạng. Áp dụng vào đây, ta được:

\[
D = 1 \cdot \frac{4^{60} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{60} - 1}{3}
\]

Để chứng minh rằng \( D \) chia hết cho 21, trước tiên ta sẽ xem xét tính chia hết của \( D \) cho 3 và 7, vì \( 21 = 3 \times 7 \).

### Bước 1: Chứng minh \( D \) chia hết cho 3

Ta xem xét biểu thức \( 4^{60} - 1 \) theo modulo 3:

\[
4 \equiv 1 \mod 3 \implies 4^{60} \equiv 1^{60} \equiv 1 \mod 3
\]

Do đó:

\[
4^{60} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Suy ra:

\[
D = \frac{4^{60} - 1}{3} \text{ chia hết cho 3}
\]

### Bước 2: Chứng minh \( D \) chia hết cho 7

Xét \( D \) modulo 7:

\[
4 \equiv 4 \mod 7
\]
\[
4^2 \equiv 16 \equiv 2 \mod 7
\]
\[
4^3 \equiv 8 \equiv 1 \mod 7
\]

Ta thấy rằng \( 4^3 \equiv 1 \mod 7 \), do đó chu kỳ lặp lại mỗi 3. Tính các số hạng \( 4^0, 4^1, 4^2 \):

- \( 4^0 \equiv 1 \)
- \( 4^1 \equiv 4 \)
- \( 4^2 \equiv 2 \)
- \( 4^3 \equiv 1 \)
- \( 4^4 \equiv 4 \)
- \( 4^5 \equiv 2 \)
- ...

Các số hạng trong dãy sau mỗi 3 hạng là \( 1, 4, 2 \).

Có tổng cộng 60 hạng, nên số nhóm là:

\[
\frac{60}{3} = 20
\]

Mỗi nhóm sẽ có tổng là:

\[
1 + 4 + 2 = 7
\]

Vậy tổng của 20 nhóm này là:

\[
20 \times 7 = 140 \equiv 0 \mod 7
\]

### Kết luận

Từ hai kết quả trên, ta có:

- \( D \) chia hết cho 3
- \( D \) chia hết cho 7

Do đó, \( D \) chia hết cho \( 21 \).

Vậy ta đã chứng minh rằng \( D \) chia hết cho 21.