Để tính giới hạn:

\[
\lim_ \frac{\sqrt{2x + 7} - 3}{x^3 - 4x^2 + 3}
\]

Bước 1: Thay \( x = 1 \):

\[
\sqrt{2(1) + 7} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0
\]

Và:

\[
1^3 - 4(1)^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0
\]

Cả tử và mẫu đều có giá trị bằng 0 khi \( x = 1 \), do đó ta có thể áp dụng định lý L'Hôpital.

Bước 2: Tính đạo hàm của tử và mẫu.

Đạo hàm của tử:

\[
\frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 7}) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 7}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 7}}
\]

Đạo hàm của mẫu:

\[
\frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2 + 3) = 3x^2 - 8x
\]

Bước 3: Áp dụng định lý L'Hôpital:

\[
\lim_ \frac{\frac{1}{\sqrt{2x + 7}}}{3x^2 - 8x}
\]

Bước 4: Thay \( x = 1 \):

\[
\frac{\frac{1}{\sqrt{2(1) + 7}}}{3(1)^2 - 8(1)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{9}}}{3 - 8} = \frac{\frac{1}{3}}{-5} = -\frac{1}{15}
\]

Vậy kết quả của giới hạn là:

\[
\lim_ \frac{\sqrt{2x + 7} - 3}{x^3 - 4x^2 + 3} = -\frac{1}{15}
\]