Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AE, lấy điểm F sao cho D là trung điểm của AF

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành.

### a) Chứng minh tứ giác DBEC là hình bình hành.

1. **Xét tứ giác DBEC**:
- Ta có \( B \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AE \) → \( AB = BE \).
- Ta cũng có \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AF \) → \( AD = DF \).

2. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- Vì \( AB = BE \) và \( AD = DF \), nên \( DB \parallel EC \) (cùng chiều).
- \( DB = EC \) do \( DB \) và \( EC \) là các đoạn thẳng nối các cạnh không liền nhau của hình bình hành \( ABCD \).

3. **Kết luận**: Theo định nghĩa của hình bình hành, \( DBEC \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa song song.

### b) Chứng minh \( C \) là trung điểm của đoạn \( EF \).

1. **Kí hiệu**:
- Gọi \( E \) và \( F \) theo hệ tọa độ như sau: \( E(x_1, y_1) \) và \( F(x_2, y_2) \).

2. **Tính tọa độ của \( C \)**:
- Tứ giác \( ABCD \) có \( C \) là giao điểm của đường chéo \( AC \) và \( BD \). Cũng từ đó, ta có \( C \) sẽ nằm giữa \( E \) và \( F \).

3. **Chứng minh**:
- \( C = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
- Dễ dàng thấy \( C \) chính là điểm trung bình của \( EF \).

### c) Chứng minh ba đường thẳng \( AC, BF, DE \) đồng quy.

1. **Chứng minh tính đồng quy**:
- Từ tính chất của hình bình hành, các đường chéo \( AC \) và \( BD \) sẽ cắt nhau tại điểm \( C \) là trung điểm của chúng.
- Đường thẳng \( BF \) và đường thẳng \( DE \) cũng sẽ cắt nhau tại điểm \( B \) và đều có đường thẳng đi qua \( C \).

2. **Kết luận**: Do đó, ba đường thẳng \( AC, BF, DE \) đồng quy tại điểm \( C \).

Vậy, ta đã hoàn thành bài toán theo yêu cầu.