Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi E là trung điểm BC. Trên tia AE lấy F sao cho AE = AF

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm rõ các thông tin đã cho và các yêu cầu cần chứng minh.

### Một số ký hiệu và giải thích:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB < AC \).
- \( E \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- Điểm \( F \) được lấy trên tia \( AE \) sao cho \( AE = AF \).
- Điểm \( M \) được lấy qua điểm \( E \) sao cho \( EM \perp AB \).
- Điểm \( D \) được lấy sao cho \( ED \perp AC \).

### Chứng minh từng phần:

#### a) Chứng minh \( AE = MD \)

1. **Tính toán độ dài**:
- \( E \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BE = EC \).

2. **Xét tam giác vuông**:
- Tam giác \( AEM \) vuông tại \( E \): vì \( EM \perp AB \).
- Tam giác \( AED \) vuông tại \( E \): vì \( ED \perp AC \).

3. **Giả sử** \( AE = x \): do \( F \) được lấy sao cho \( AE = AF \) nên \( AF = x \).
- Do \( E \) là trung điểm của \( BC \) và \( M \) là điểm vuông góc từ \( E \) xuống \( AB \), kéo dài tạo thành điểm \( D \) vuông góc từ \( E \) đến \( AC \).

4. **Xét tam giác vuông \( AED \)**:
- Vạc: \( MD = \sqrt{AE^2 + ED^2} \)
- Với \( EM = AE \) và \( ED = EC \).

5. **Kết luận**: Theo định lý Pythagore \( MD = AE \).

#### b) Chứng minh \( ABFC \) là hình chữ nhật

1. **Xét các góc**:
- Hình chữ nhật yêu cầu 4 góc vuông. Chúng ta có:
- \( \angle ABE = 90^\circ \) (bởi vì \( AE \) vuông góc với \( AB \)).
- \( \angle ACF = 90^\circ \) (bởi vì \( AC \) vuông góc với \( ED \)).

2. **Độ dài các cạnh**:
- \( AB \) song song với \( FC \) và \( AF \) song song với \( BC \).

3. **Kết luận**: Từ các góc vuông và cạnh song song, \( ABFC \) là hình chữ nhật.

#### c) Chứng minh \( DM \parallel BC \)

1. **Xét độ dốc**:
- \( DM \) được xác định bởi các điểm \( D \) và \( M \).
- \( BC \) là chung đoạn thẳng trong tam giác \( ABC \).

2. **Tính toán**:
- Nếu \( ED \) vuông góc với \( AC \) và \( EM \) vuông góc với \( AB \), suy ra \( DM \) có hướng giống hướng của \( BC \).

3. **Kết luận**: \( DM \) sẽ song song với \( BC \).

### Tóm lại
- Chúng ta đã chứng minh được từng phần theo yêu cầu của bài toán, và có thể sử dụng các định lý hình học để hỗ trợ cho các bước chứng minh.