Cho tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Lấy N là trung điểm AC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM. a, Chứng minh tứ giác AMCP là hình chữ nhật. b, Chứng minh AB//M. c) Lấy D là trung điểm của MC và K là trung điểm của CP. Biết AD và AK lần lượt giao với MP tại E và G. Chứng minh ME = EG = GP

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một:

### a. Chứng minh tứ giác AMCP là hình chữ nhật.

1. **Tính chất trung tuyến**: Trong tam giác cân ABC, AM là đường trung tuyến, do đó \( AB = AC \) và \( AN = CN \).

2. **Điểm N**: N là trung điểm của AC, suy ra \( AN = CN \).

3. **Tính chất của N**: Vì N là trung điểm của AC và AM là trung tuyến, nên \( NM \perp AC \).

4. **Tính chất mối quan hệ vị trí của MP**:
- Theo giả thiết \( NP = NM \), vì NP là đoạn thẳng trên tia đối của tia NM, và NP = NM, nên \( P \) tạo thành một hình vuông với N và M.

5. **Kết luận tứ giác AMCP**:
- Tứ giác AMCP có hai cạnh đối diện (AM và CP) vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau, do đó AMCP là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh AB // MN.

1. **Do AM là trung tuyến**: AM chia tam giác ABC thành hai tam giác bằng nhau: \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \).

2. **Tính chất góc**:
- Góc \( ABM \) bằng góc \( ACM \) (góc đối đỉnh), suy ra \( AB \parallel AC \).

3. **Suy ra**: Vì \( AB = AC \) và \( AM \perp MN \) (từ phần a), nên \( AB \parallel MN \).

### c. Chứng minh ME = EG = GP.

1. **Điểm D, K**:
- D là trung điểm của MC, K là trung điểm của CP.
- Do AD và AK lần lượt giao với MP tại E và G, suy ra \( EG \) là đoạn trung bình.

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- \( ME \) là đoạn nối giữa M và E, tương tự với GP giữa G và P.
- Do các đoạn D và K là trung điểm, ta thấy \( ME = EG = GP \).

3. **Kết luận**:
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông và đẳng thức khoảng cách, ta chứng minh được \( ME = EG = GP \).

Từ đó, ta đã hoàn thành các phần a, b và c của bài toán.