Để tính biểu thức \( S = \frac{\sin 30^\circ + \cot 60^\circ - \cos 45^\circ}{2} \), ta sẽ tính từng phần:

1. **Tính \( \sin 30^\circ \)**:
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]

2. **Tính \( \cot 60^\circ \)**:
\[
\cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

3. **Tính \( \cos 45^\circ \)**:
\[
\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Bây giờ, thay các giá trị này vào biểu thức \( S \):

\[
S = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}
\]

Tiếp theo, chúng ta kết hợp các hạng tử trong dấu ngoặc:

\[
S = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{2}
\]

Chúng ta có thể rút gọn biểu thức trong ngoặc:

\[
S = \frac{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{2}
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể tính giá trị của biểu thức này, nhưng qua các bước trên, ta đã phân tích chi tiết. Nếu cần tính cụ thể hơn, có thể thay giá trị tính toán của \( \sqrt{2} \) và \( \sqrt{3} \), nhưng tính đến thời điểm hiện tại, chúng ta đã có:

\[
S = \frac{1 - \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}}{4}
\]

Đó là giá trị của \( S \).