Rút gọn biểu thức B

Để rút gọn biểu thức \( B \), ta có:

\[
B = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{1.3} \right) \left( 1 + \frac{1}{2.4} \right) \left( 1 + \frac{1}{3.5} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2021.2023} \right)
\]

Ta xét từng phần trong dấu ngoặc:

\[
1 + \frac{1}{n(n+2)} = \frac{n(n+2) + 1}{n(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}
\]

Vậy, ta có:

\[
B = \frac{1}{2} \prod_{n=1}^{2021} \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}
\]

Khi ta tách rời thành từng phần:

\[
= \frac{1}{2} \times \frac{(2^2)(3^2)(4^2)\cdots(2022^2)}{(1 \cdot 2 \cdots 2021) \cdot (3 \cdot 4 \cdots 2023)}
\]

Có thể nhận thấy rằng:

\[
1 \cdot 2 \cdots 2021 = 2021!
\]

Và:

\[
3 \cdot 4 \cdots 2023 = \frac{2023!}{2}
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
B = \frac{1}{2} \times \frac{(2^2)(3^2)(4^2)\cdots(2022^2)}{2021! \cdot \frac{2023!}{2}}
\]

Cuối cùng, ta có thể đơn giản biểu thức này:

\[
B = \frac{(2022!)^2}{2 \cdot 2021! \cdot 2023!}
\]

Kết quả là:

\[
B = \frac{1}{2023}
\]

Do đó, giá trị rút gọn cuối cùng là:

\[
B = \frac{1}{2023}
\]