Cho các số tự nhiên a, b thỏa mãn ab+1 chia hết cho 24. Chứng minh: a+b chia hết cho 24

Để chứng minh rằng nếu \( ab + 1 \) chia hết cho \( 24 \) thì \( a + b \) cũng chia hết cho \( 24 \), chúng ta sẽ xét các trường hợp.

### Bước 1: Phân tích điều kiện
Ta có điều kiện:
\[
ab + 1 \equiv 0 \mod 24 \implies ab \equiv -1 \mod 24
\]

Điều này có nghĩa là \( ab \equiv 23 \mod 24 \).

### Bước 2: Phân tích modulo 3 và modulo 8
Ta sẽ xem xét điều kiện này trong modulo \( 3 \) và modulo \( 8 \).

**Modulo 3:**
Vì \( ab \equiv 23 \equiv 2 \mod 3 \), nên một trong số \( a \) hoặc \( b \) phải là \( 1 \mod 3 \) và cái còn lại phải là \( 2 \mod 3 \) (hoặc ngược lại).

**Modulo 8:**
Vì \( ab \equiv 23 \equiv 7 \mod 8 \), ta cũng cần phân tích các cặp số tự nhiên.
- Các cặp số có tích chia hết cho \( 8 \) và tổng chia hết cho \( 7 \) thường xảy ra với ít nhất một số chẵn và một số lẻ, hoặc cả hai số đều lẻ.
- Ta có các trường hợp như:
- \( a \equiv 1 \mod 8 \) và \( b \equiv 7 \mod 8 \)
- \( a \equiv 3 \mod 8 \) và \( b \equiv 5 \mod 8 \)
- \( a \equiv 5 \mod 8 \) và \( b \equiv 3 \mod 8 \)
- \( a \equiv 7 \mod 8 \) và \( b \equiv 1 \mod 8 \)

### Bước 3: Kết hợp các điều kiện
Khi kết hợp các điều kiện từ modulo \( 3 \) và modulo \( 8 \):

1. Từ điều kiện modulo \( 3 \):
- Một số phải là \( 1 \mod 3 \) và số còn lại là \( 2 \mod 3 \).

2. Từ điều kiện modulo \( 8 \):
- Chúng ta có thể kết hợp các kết quả của \( a \) và \( b \).

### Bước 4: Chứng minh \( a + b \equiv 0 \mod 24 \)
Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \) thì \( a + b \equiv 0 \mod 3 \).

Nếu \( a \equiv 1 \mod 8 \) và \( b \equiv 7 \mod 8 \), hoặc các cặp khác đã phân tích ở trên thì:
- Tổng \( a + b \equiv 0 \mod 8 \).

### Bước 5: Áp dụng Định lý Trung bình
Bởi vì \( a + b \equiv 0 \mod 3 \) và \( a + b \equiv 0 \mod 8 \), theo định lý số dư Trung bình, ta có thể kết luận rằng:
\[
a + b \equiv 0 \mod 24
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( ab + 1 \) chia hết cho \( 24 \), thì \( a + b \) cũng chia hết cho \( 24 \).