Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a, gọi I trung điểm CD. Tính góc giữa hai vectơ BA và BI

Để tính góc giữa hai vectơ \( \vec{BA} \) và \( \vec{BI} \) trong tứ diện đều ABCD, ta cần xác định tọa độ các điểm trong không gian.

Giả sử tứ diện đều có các điểm \( A, B, C, D \) có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
- \( D\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right) \)

Tọa độ của trung điểm \( I \) của cạnh \( CD \) sẽ được tính như sau:
\[
I = \left(\frac{\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{a \sqrt{3}}{6}}{2}, \frac{0 + \frac{a \sqrt{6}}{3}}{2}\right)
\]
Tính từng thành phần:
- Thành phần x: \( I_x = \frac{a}{2} \)
- Thành phần y:
\[
I_y = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{a \sqrt{3}}{6}}{2} = \frac{3\frac{a \sqrt{3}}{6} + \frac{a \sqrt{3}}{6}}{2} = \frac{4 \frac{a \sqrt{3}}{6}}{2} = \frac{2a \sqrt{3}}{6} = \frac{a \sqrt{3}}{3}
\]
- Thành phần z:
\[
I_z = \frac{0 + \frac{a \sqrt{6}}{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{6}
\]
Vậy tọa độ của điểm \( I \) là:
\[
I\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{6}\right)
\]

Bây giờ chúng ta sẽ xác định vectơ \( \vec{BA} \) và \( \vec{BI} \):
- Vectơ \( \vec{BA} = A - B = (0, 0, 0) - (a, 0, 0) = (-a, 0, 0) \)
- Vectơ \( \vec{BI} = I - B = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{6}\right) - (a, 0, 0)\)
- Tính từng thành phần:
\[
\vec{BI} = \left(\frac{a}{2} - a, \frac{a \sqrt{3}}{3} - 0, \frac{a \sqrt{6}}{6} - 0 \right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{6}\right)
\]

Tiếp theo, ta tính cos góc giữa hai vectơ \( \vec{BA} \) và \( \vec{BI} \) bằng công thức:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BI}}{|\vec{BA}| |\vec{BI}|}
\]

1. **Tính tích vô hướng \( \vec{BA} \cdot \vec{BI} \)**:
\[
\vec{BA} \cdot \vec{BI} = (-a) \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3} + 0 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{6} = \frac{a^2}{2}
\]

2. **Tính độ dài \( |\vec{BA}| \) và \( |\vec{BI}| \)**:
- \( |\vec{BA}| = \sqrt{(-a)^2 + 0 + 0} = a \)
- \( |\vec{BI}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{6}}{6}\right)^2} \)
\[
|\vec{BI}| = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{3} + \frac{a^2}{6}} = a \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a \sqrt{\frac{3 + 4 + 2}{12}} = a \sqrt{\frac{9}{12}} = a \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}
\]

3. **Thay vào công thức cos**:
\[
\cos \theta = \frac{\frac{a^2}{2}}{a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a^2 / 2}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Cuối cùng, tính góc \( \theta \):
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\]

Kết quả là:
\[
\theta \approx 54.74^\circ
\]

Như vậy, góc giữa hai vectơ \( \vec{BA} \) và \( \vec{BI} \) là \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).