Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của H xuống AB, AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC, AH cắt PQ ở O

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác APHQ là hình chữ nhật

- Ta có \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), và đường cao \( AH \) tức là \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Điểm \( P \) và \( Q \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \). Do đó, \( HP \perp AB \) và \( HQ \perp AC \).
- Xét tứ giác \( APHQ \):
- \( HP \perp AP \) và \( HQ \perp AQ \) (vì \( P \) và \( Q \) là hình chiếu).
- Từ đó suy ra các cặp cạnh \( AP \) và \( HQ \) cũng vuông góc với nhau.
- Do đó, \( APHQ \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( KQP = 90^\circ \)

- Gọi \( K \) là trung điểm của \( HC \).
- Xét đoạn \( KQ \) và \( PQ \):
- Ta có \( HK \) vuông góc với \( AC \) vì \( H \) là hình chiếu của \( A \) xuống \( BC \).
- Do đó, \( KQ \) cũng vuông góc với \( AC \).
- Tiếp theo, từ tính chất hình chữ nhật \( APHQ \), nên \( PQ \) cũng vuông góc với \( AB \).
- Như vậy, tứ giác \( KQP \) có các góc \( KQP = 90^\circ \).

### c) Tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để \( O \) và \( H \) cùng nằm trên đường tròn

- Để \( OHKQ \) là hình chữ nhật, ta cần đảm bảo rằng các điểm \( O, H, K, Q \) nằm trên một đường tròn, tức là \( OH \) phải vuông góc với \( KQ \).
- Điều này được thỏa mãn khi \( OB \) và \( OC \) cũng phải vuông góc với \( AC \) và \( AB \) tương ứng.
- Từ đó, cần \( \triangle ABC \) là tam giác vuông tại \( A \) với \( AB = AC \) để \( OH \) có thể trùng với đường kính của đường tròn // đồng thời thỏa mãn các yêu cầu về tứ giác.

Vậy \( \triangle ABC \) cần có các cạnh bằng nhau, hoặc là một tam giác vuông cân tại \( A \).