Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD. Qua điểm M là trung điểm của BC kề đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và K

Để chứng minh hai phần a) \( AE = AK \) và b) \( BE = CK \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \), ta sẽ sử dụng định lý về các đoạn thẳng song song và tỉ lệ.

**a) Chứng minh \( AE = AK \)**:

1. Gọi \( AD \) là đường phân giác của tam giác \( ABC \), do đó, từ định lý đường phân giác ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CK}
\]
trong đó \( E \) thuộc \( AB \) và \( K \) thuộc \( AC \).

2. Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và đường thẳng qua \( M \) song song với \( AD \) nên theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
\[
\frac{AE}{AK} = \frac{AB}{AC}
\]

3. Vậy từ hai bước trên, ta có:
\[
AE \cdot AC = AK \cdot AB \Rightarrow AE \cdot AC = AK \cdot AB
\]

4. Chúng ta có \( AB < AC \), do đó \( AE = AK \) theo tỉ lệ ở trên.

**b) Chứng minh \( BE = CK \)**:

1. Tương tự như phần a), từ định lý về đường phân giác, ta đã có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CK}
\]

2. Vì \( AD \) và \( MK \) song song, ta cũng có:
\[
\frac{BE}{CK} = \frac{AB}{AC}
\]

3. Từ đó, ta kết luận rằng \( BE = CK \) vì \( AB < AC \) và tính chất của các đoạn thẳng song song.

Từ hai phần chứng minh trên, ta đã có \( AE = AK \) và \( BE = CK \). Hoàn thành bài toán.