Để giải phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{3}{y} = \frac{5}{4}\), trước tiên ta nhân cả hai vế với 4y để loại bỏ mẫu:

\[
4y \left(\frac{x}{2}\right) + 4y \left(\frac{3}{y}\right) = 4y \left(\frac{5}{4}\right).
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2xy + 12 = 5y.
\]

Chuyển hết về một phía, ta có:

\[
2xy - 5y + 12 = 0.
\]

Đây là một phương trình bậc nhất theo \(y\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc nhất:

\[
y = \frac{12}{5 - 2x}.
\]

Để \(y\) là số nguyên, \(5 - 2x\) phải là ước của 12. Các ước của 12 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Ta sẽ thử từng giá trị:

1. \(5 - 2x = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 12\)
2. \(5 - 2x = 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) (không nguyên)
3. \(5 - 2x = 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 8\)
4. \(5 - 2x = 4 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) (không nguyên)
5. \(5 - 2x = 6 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\) (không nguyên)
6. \(5 - 2x = 12 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}\) (không nguyên)

Kiểm tra các giá trị âm:

7. \(5 - 2x = -1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 6\)
8. \(5 - 2x = -2 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}\) (không nguyên)
9. \(5 - 2x = -3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 0\) (không được)
10. \(5 - 2x = -4 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2}\) (không nguyên)
11. \(5 - 2x = -6 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{2}\) (không nguyên)
12. \(5 - 2x = -12 \Rightarrow 2x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{2}\) (không nguyên)

Từ các phép thử, chúng ta tìm ra các cặp \((x, y)\) nguyên sau:

- \((2, 12)\)
- \((1, 8)\)
- \((3, 6)\)

Vậy các cặp \((x, y)\) nguyên thỏa mãn phương trình là:

\[
(2, 12), (1, 8), (3, 6).
\]