Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + 7n \) là một số chính phương, chúng ta cần tìm điều kiện mà \( n^2 + 7n = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên không âm.

Ta có thể viết lại phương trình trên như sau:

\[
n^2 + 7n - k^2 = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm với \( n \), kiểm tra điều kiện diskriminant (hàm số bậc hai).

Chúng ta cần tính discriminant của phương trình:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k^2) = 49 + 4k^2
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, \( \Delta \) cần phải là một số chính phương, hẵng cho \( \Delta = m^2 \) với \( m \) là một số nguyên không âm.

Ta có phương trình:

\[
m^2 = 49 + 4k^2
\]

Đưa về dạng:

\[
m^2 - 4k^2 = 49
\]

Phương trình này có thể viết lại như sau:

\[
(m - 2k)(m + 2k) = 49
\]

Ta sẽ tìm các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) sao cho \( x \cdot y = 49 \):

- \( 1 \cdot 49 \)
- \( 7 \cdot 7 \)

Ta có hai trường hợp cần xem xét:

**Trường hợp 1: \( m - 2k = 1 \), \( m + 2k = 49 \)**

Giải hệ phương trình:

\[
m - 2k = 1
\]
\[
m + 2k = 49
\]

Cộng hai phương trình:

\[
2m = 50 \Rightarrow m = 25
\]

Thay \( m \) vào phương trình đầu tiên:

\[
25 - 2k = 1 \Rightarrow 2k = 24 \Rightarrow k = 12
\]

Tiến hành tính \( n \):

\[
\Delta = 49 + 4 \times 12^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow m = 25
\]

Vì vậy:

\[
n^2 + 7n - 144 = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
n = \frac{-7 \pm 25}{2}
\]
\[
n = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{(thỏa mãn)} \quad \text{hoặc} \quad n = \frac{-32}{2}
\]

**Trường hợp 2: \( m - 2k = 7 \), \( m + 2k = 7 \)**

Giải tương tự:

\[
m - 2k = 7
\]
\[
m + 2k = 7
\]

Dễ dàng thấy là:

\[
m = 7 \quad k = 0
\]

Tính \( n \):

\[
n^2 + 7n = 0 \Rightarrow n(n + 7) = 0
\]

Từ đó ta tìm được nghiệm \( n = 0 \).

### Kết luận
Các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện trên là \( n = 0 \) và \( n = 9 \).