Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn (C khác A và B). Kẻ CH ⊥ AB. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại M, MB cắt CH tại K

Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu trong bài.

### a) Chứng minh \( OI \perp AC \) và \( \triangle ABC \) vuông tại \( C \).

1. **Chứng minh \( OI \perp AC \)**:
- Điểm \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \). Do đó, ta có \( AI = IC \).
- Vecto \( OI \) và \( AI \) là hai cạnh của tam giác vuông, với \( O \) là tâm của đường tròn, và đường kính \( AB \) vuông góc với mọi dây cung.
- Vì \( CH \perp AB \), suy ra \( AC \) cũng vuông góc với \( OI \) (do \( C \) nằm trên đường tròn).

Kết luận: \( OI \) vuông góc với \( AC \).

2. **Chứng minh \( \triangle ABC \) vuông tại \( C \)**:
- Theo định lý đường kính, nếu điểm \( C \) nằm trên đường tròn (O) và \( AB \) là đường kính, thì \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Do đó, \(\triangle ABC\) vuông tại \( C \).

### b) Chứng minh \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

Để chứng minh \( MC \) là tiếp tuyến, ta thực hiện như sau:

1. **Điểm tiếp xúc**: Theo định nghĩa, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

2. **Cạnh bên**: Trong trường hợp này, từ \( M \) kẻ đường thẳng \( MC \) tới điểm \( C \) (trên đường tròn), theo như đã chứng minh ở trên, \( OC \) là bán kính của đường tròn.

3. **Vuông góc**: Vì \( OI \perp AC \) và giờ \( M \) nằm trên tangente tại điểm \( A \) mà \( OI \) cắt, ta có \( MC \perp OC \).

Kết luận: \( MC \) vuông góc với bán kính \( OC \) nên \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).