Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước a: Chứng minh MN // BC

1. **Tính độ dài AC**:
\[
AC = 24 \, \text{cm}
\]

2. **Tính độ dài AN**:
\[
AN = \frac{3}{5} AC = \frac{3}{5} \times 24 = 14.4 \, \text{cm}
\]

3. **Xác định toàn bộ tọa độ**:
- Giả sử A (0, 0), B (10, 0), C (0, 24).
- Điểm M trên AB: M (6, 0) vì AM = 6 cm.
- Điểm N trên AC: N (0, 14.4) vì AN = 14.4 cm.

4. **Tính vectơ BC và MN**:
- Vectơ BC:
\[
\vec{BC} = C - B = (0, 24) - (10, 0) = (-10, 24)
\]
- Vectơ MN:
\[
\vec{MN} = N - M = (0, 14.4) - (6, 0) = (-6, 14.4)
\]

5. **Kiểm tra tỉ lệ**:
- Hai vectơ \(\vec{BC}\) và \(\vec{MN}\) có cùng tỉ lệ nếu tồn tại số k sao cho:
\[
\frac{-10}{-6} = \frac{24}{14.4} \Rightarrow \frac{10}{6} = \frac{24}{14.4}
\]
- Tính tỉ lệ:
\[
\frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]
và
\[
\frac{24}{14.4} = \frac{24}{14.4} = \frac{5}{3}
\]
- Vì tỉ lệ này bằng nhau, suy ra \(MN || BC\).

### Bước b: Gọi E là trung điểm của BC, K là giao điểm của AE với MN, K là trung điểm của MN

1. **Tìm tọa độ E, trung điểm của BC**:
\[
E = \left( \frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2} \right) = \left( \frac{10 + 0}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = (5, 12)
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng AE**:
- Đường thẳng AE có 2 điểm: A (0, 0) và E (5, 12).
- Tính độ dốc (slope):
\[
\text{slope} = \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A} = \frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5}
\]
- Phương trình đường thẳng AE:
\[
y = \frac{12}{5}x
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng MN**:
- Đường thẳng MN có 2 điểm: M (6, 0) và N (0, 14.4).
- Tính độ dốc:
\[
\text{slope} = \frac{14.4 - 0}{0 - 6} = -\frac{14.4}{6} = -2.4
\]
- Phương trình đường thẳng MN: sử dụng điểm M (6, 0)
\[
y - 0 = -2.4(x - 6) \Rightarrow y = -2.4x + 14.4
\]

4. **Giải phương trình AE và MN để tìm K**:
- Từ phương trình AE: \(y = \frac{12}{5}x\)
- Đặt vào phương trình MN:
\[
\frac{12}{5}x = -2.4x + 14.4
\]
- Giải phương trình:
\[
\frac{12}{5}x + 2.4x = 14.4
\]
Chuyển đổi \(2.4\) sang đồng dạng với phân số:
\[
2.4 = \frac{12}{5}
\]
Vậy:
\[
\left(\frac{12}{5} + \frac{12}{5}\right)x = 14.4
\]
\[
\frac{24}{5}x = 14.4 \Rightarrow x = 14.4 \cdot \frac{5}{24} = 3
\]
- Thay vào phương trình AE để tìm y:
\[
y = \frac{12}{5}(3) = \frac{36}{5} = 7.2
\]
- Vậy K có tọa độ là \(K(3, 7.2)\).

5. **Tìm trung điểm MN**:
- Điểm M (6, 0) và N (0, 14.4):
\[
K = \left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 14.4}{2} \right) = \left( 3, 7.2 \right)
\]

Kết quả:
- a) \(MN \parallel BC\) đã chứng minh.
- b) Điểm K là trung điểm của MN.